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★北京廣利核系統(tǒng)工程有限公司程建明，徐先柱

關(guān)鍵詞：嵌入式操作系統(tǒng)；數(shù)學庫函數(shù)；對比測試；誤差分析

核鷺操作系統(tǒng)（NuEgretOS）是北京廣利核系統(tǒng)工程有限公司開發(fā)的嵌入式多任務(wù)操作系統(tǒng)軟件，可運行于基于龍芯2K1000處理器的專用硬件環(huán)境中，為執(zhí)行核安全重要功能的、符合包含IEC 62138-2018^[1]等標準要求的應(yīng)用軟件提供操作系統(tǒng)軟件環(huán)境。NuEgretOS提供在目標硬件環(huán)境下資源分配、調(diào)度、輸入輸出控制以及數(shù)據(jù)管理等服務(wù)，應(yīng)用軟件在此基礎(chǔ)上提供信號和控制處理邏輯。NuEgretOS還提供部分C語言標準庫函數(shù)（其中包含數(shù)學庫函數(shù)），供基于NuEgretOS運行的應(yīng)用軟件設(shè)計時調(diào)用。其中，NuEgretOS數(shù)學庫目前提供最常用的若干數(shù)學函數(shù)，包括三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，以及與浮點數(shù)特性相關(guān)的函數(shù)（如取整、取余、取絕對值、切分浮點數(shù)）等。

出于安全方面的原因，NuEgretOS數(shù)學庫實現(xiàn)過程中不使用任何第三方函數(shù)庫，包括不調(diào)用編譯器自帶的數(shù)學函數(shù)庫中的函數(shù)。同時，由于NuEgretOS數(shù)學庫函數(shù)將直接參與應(yīng)用軟件處理邏輯，執(zhí)行包括核安全重要功能在內(nèi)的應(yīng)用軟件功能，因此在使用前必須對其進行全面驗證和確認。通過測試保證其正確性和計算精度是NuEgretOS數(shù)學庫驗證和確認的重要工作之一。

1　庫函數(shù)設(shè)計NuEgretOS軟件和應(yīng)用軟件均使用C語言及必要的

匯編語言開發(fā)，使用GCC工具進行編譯。NuEgretOS以鏡像文件（.bin文件）方式存儲于目標硬件中的存儲器上，并在設(shè)備上電時加載運行。NuEgretOS的C語言標準庫（其中包含數(shù)學庫函數(shù)）以庫文件（.a文件）的形式提供給應(yīng)用開發(fā)環(huán)境，并與應(yīng)用軟件代碼一起編譯生成可執(zhí)行與可鏈接格式文件（elf格式，.out文件），由NuEgretOS加載和運行。

NuEgretOS數(shù)學庫（C語言標準庫的一部分）中的全部函數(shù)定義和POSIX.1-2017^[2]標準中對應(yīng)的函數(shù)相同，是POSIX.1-2017規(guī)定的數(shù)學函數(shù)的子集。

NuEgretOS數(shù)學庫各函數(shù)輸入和輸出中的數(shù)學上定義為實數(shù)的數(shù)值均使用double類型浮點數(shù)表示，該浮點數(shù)類型符合ISO/IEC 60559：2020（IEEE Std754-2019）^[3]對64位雙精度浮點數(shù)（binary64）的規(guī)定。double型數(shù)據(jù)位串定義如圖1所示。

圖1 double型數(shù)據(jù)位串定義

按該標準定義，double型數(shù)以64位位串值（二進制內(nèi)存值）表示實數(shù)域內(nèi)的若干個（264-253-1，約1.84×1019個）離散數(shù)值（有限小數(shù)，含整數(shù)）以及計算機在處理小數(shù)運算時的特殊定義值（不表示任何實數(shù)的位串值，僅用于計算機對浮點數(shù)處理的特殊情況的表示）。double型數(shù)據(jù)位串值定義細分類別及特點如表1所示。

表1 double型數(shù)據(jù)位串值定義細分類別及特點

2　測試設(shè)計

2.1　計算誤差來源分析

基于ISO/IEC60559：2020（IEEE Std754-2019）^[3]對64位雙精度浮點數(shù)（binary64）的規(guī)定，雙精度浮點數(shù)除特殊定義值外，兩個位串值相鄰的浮點數(shù)數(shù)值之間的差值的絕對值定義為1個ULP（unit in the last place，最小有效數(shù)）。1ULP的實際表示值與指數(shù)域的大小相關(guān)：當指數(shù)域為最大值0x7FE時，1ULP≈8.99E307；當指數(shù)域為最小值0x000時，1ULP≈4.94E-324。對于浮點數(shù)表示范圍（約-1.79E308~約1.79E308）內(nèi)的任意實數(shù)，在最近舍入模式下，由浮點數(shù)離散特性帶來的最大表示誤差≤0.5ULPs。規(guī)格化數(shù)的二進制有效數(shù)字個數(shù)為53個，由浮點數(shù)舍入帶來的最大表示誤差（≤0.5ULPs）帶來的數(shù)值相對誤差范圍為（2-54，2-53），非規(guī)格化數(shù)的二進制有效數(shù)字個數(shù)最大為52個，隨數(shù)值減小而減少，由浮點數(shù)舍入帶來的最大表示誤差（≤0.5ULPs）造成的數(shù)值相對誤差也相應(yīng)增大，范圍為（2-53，2-1）。

對于NuEgretOS數(shù)學庫中與浮點數(shù)特性相關(guān)的算術(shù)函數(shù)（如取整、取余、取絕對值、切分浮點數(shù)等），函數(shù)的運算輸出與其理論輸出之間不應(yīng)存在誤差，即允許誤差為0ULPs。而對于其它函數(shù)，包括三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等，其理論計算值與其函數(shù)輸出值之間的誤差受多種因素影響，主要包括：

（1）輸入值表示誤差；

（2）計算方法誤差，如使用泰勒展開式有限項帶來的誤差；

（3）計算過程誤差，包括模型參數(shù)引入的誤差、中間計算結(jié)果的舍入誤差等；

（4）輸出值表示誤差。基于NuEgretOS數(shù)學庫函數(shù)的目標應(yīng)用，除算術(shù)計算函數(shù)外，設(shè)定各函數(shù)輸出的允許誤差為2ULPs。

2.2　驗證目標

基于NuEgretOS數(shù)學庫的設(shè)計特點和應(yīng)用要求，NuEgretOS數(shù)學庫的驗證目標包括：

（1）各函數(shù)在其定義域內(nèi)的任意值（包括浮點定義的正負零值）的計算輸出值正確（符合函數(shù)定義）且在允許誤差范圍內(nèi)。

（2）各函數(shù)對異常及特殊情況處理正確，包括對計算值超浮點表示范圍的處理、輸入非函數(shù)定義域數(shù)值、輸入浮點特殊定義值等，函數(shù)輸出符合處理器特性以及IEC60559規(guī)定的特殊定義值。如有定義，NuEgretOS應(yīng)用軟件可通過注冊中斷處理程序獲知計算過程例外或異常并處理。

2.3　測試方案

NuEgretOS數(shù)學庫為新開發(fā)軟件，各函數(shù)遵循其數(shù)學定義，其輸出值實數(shù)范圍內(nèi)存在理論精確值，該理論精確值在確定的浮點數(shù)類型定義和舍入方式下，經(jīng)計算機計算后輸出的浮點數(shù)（二進制內(nèi)存值）是唯一的和確定的，與函數(shù)的實現(xiàn)方式以及運行所依賴的硬件和軟件環(huán)境無關(guān)。同時，NuEgretOS數(shù)學庫范圍內(nèi)的各函數(shù)已在支持POSIX標準的大多數(shù)軟件開發(fā)工具及編譯工具中實現(xiàn)。這些已實現(xiàn)的函數(shù)多包含在隨軟件開發(fā)工具及編譯工具提供的函數(shù)庫中，其實現(xiàn)比較成熟且已有較多運行經(jīng)歷，運算結(jié)果相對可信，NuEgretOS數(shù)學庫測試時假定對應(yīng)函數(shù)的預(yù)期運算結(jié)果。當運算結(jié)果一致時，可在較高可信度上證明NuEgretOS數(shù)學庫函數(shù)的正確性和精度，當運算結(jié)果不一致時，進行函數(shù)實現(xiàn)分析以定位問題或通過設(shè)計分析證明NuEgretOS數(shù)學庫函數(shù)的正確性和精度。測試前對NuEgretOS數(shù)學庫全部函數(shù)的設(shè)計和實現(xiàn)代碼的評審和分析也是保證NuEgretOS數(shù)學庫函數(shù)的正確性和精度的措施。因此，可以通過對比其它已實現(xiàn)的成熟函數(shù)庫執(zhí)行結(jié)果的方式，對NuEgretOS數(shù)學庫的正確性和精度進行對比測試。NuEgretOS數(shù)學庫對比測試總體方案如圖2所示。

圖2 對比測試方案

分別建立數(shù)學庫的參考運行環(huán)境和目標機運行環(huán)境，目標機運行環(huán)境和NuEgretOS應(yīng)用軟件運行環(huán)境完全一致。在參考運行環(huán)境下，可以用與NuEgretOS應(yīng)用程序相同的方式調(diào)用相同定義的各數(shù)學庫函數(shù)。參考運行環(huán)境由通用PC機搭建，同時作為測試應(yīng)用程序的開發(fā)環(huán)境。

用相同的方式分別建立參考環(huán)境測試工程和目標機測試工程，兩個測試工程共用一套C語言代碼，兩個工程中的測試應(yīng)用程序內(nèi)必要的有差別的行為通過預(yù)編譯開關(guān)實現(xiàn)。測試應(yīng)用程序中含用例生成、用例執(zhí)行、結(jié)果保存、用例讀取、結(jié)果比較等主要功能模塊。參考環(huán)境應(yīng)用程序?qū)嶋H執(zhí)行用例生成、用例執(zhí)行、結(jié)果保存三項功能。參考環(huán)境測試應(yīng)用程序運行結(jié)果保存中包括了測試用例中各函數(shù)的輸入序列和其在參考環(huán)境中的運算結(jié)果。各函數(shù)的輸入序列和對應(yīng)的參考環(huán)境運算結(jié)果組成測試向量，以二進制內(nèi)存拷貝的方式保存成文件，并下載到目標機運行環(huán)境。目標機測試應(yīng)用程序讀取各待測函數(shù)測試向量生成測試用例。目標機測試應(yīng)用程序執(zhí)行完成測試用例后進行結(jié)果比較，以文件和串口打印輸出的形式輸出與參考環(huán)境計算結(jié)果的比較情況。同時目標機測試應(yīng)用程序用與參考環(huán)境測試應(yīng)用程序相同的方式保存測試結(jié)果。參考環(huán)境和目標機處理器大小端模式相同，測試向量的保存、傳遞和讀取過程不引入浮點數(shù)表示誤差。參考環(huán)境和目標機的測試應(yīng)用程序的全部輸出作為人工分析的輸入，用以最終判定NuEgretOS數(shù)學庫的正確性和計算精度是否符合設(shè)計和應(yīng)用目標。

另外，還使用不同的編譯工具生成多個參考環(huán)境測試應(yīng)用程序并對其運算結(jié)果進行比較，用以提高參考環(huán)境測試應(yīng)用程序運算結(jié)果作為NuEgretOS數(shù)學庫預(yù)期結(jié)果的可信度。

2.4　測試用例生成

在本項測試中，各函數(shù)的測試輸入覆蓋率是保證對NuEgretOS數(shù)學庫各函數(shù)測試全面性的最重要指標。由于double型數(shù)據(jù)位串值個數(shù)（264）遠大于目標機運行環(huán)境可執(zhí)行測試輸入數(shù)量，進行位串值完全窮舉是不可行的，需按適當?shù)囊?guī)則進行抽樣。

為保證充分的輸入覆蓋率，測試用例設(shè)計前先分析各函數(shù)的基本特性，包括定義域、周期（如有）、單調(diào)性、與函數(shù)計算機實現(xiàn)方法相關(guān)的特殊值等，再根據(jù)各函數(shù)特性和浮點數(shù)定義自動生成測試輸入序列。在參考環(huán)境測試應(yīng)用程序中生成各函數(shù)測試輸入值序列時，需滿足以下規(guī)則：

2.4.1　插入函數(shù)整體定義域邊界值、典型周期定義域邊界值、函數(shù)拐點值，無論函數(shù)在這些值上是否有定義；

2.4.2　插入函數(shù)整體定義域、典型周期定義域內(nèi)若干（40個以上）隨機值；

2.4.3　插入與各函數(shù)實現(xiàn)相關(guān)的特殊值，可能包括：

（1）與函數(shù)計算方法相關(guān)的函數(shù)定義域邊界值，如sin函數(shù)中泰勒展開式計算前x的邊界值π/4；

（2）與函數(shù)計算所用參數(shù)相關(guān)的特殊值等；

（3）函數(shù)計算過程中可能出現(xiàn)溢出例外的函數(shù)定義域值。

2.4.4　插入與浮點數(shù)定義相關(guān)的特殊值（無論數(shù)學函數(shù)在這些值上是否有定義），包括正負零、正負無窮大、qNaN（靜默非數(shù)）/sNaN（信號非數(shù)）典型值、規(guī)格化數(shù)和非規(guī)格化數(shù)的最大值和最小值。

除自動生成的隨機數(shù)值外，以上各項中的輸入值均以C語言共用體方式直接對內(nèi)存賦值，以避免因常量編譯等因素造成實際輸入值與需輸入值不一致。另外，在按以上規(guī)則插入各函數(shù)測試輸入值時，同時插入每個輸入值的二進制位串值的相鄰值。

3　測試工程的編譯和運行

在參考環(huán)境中，使用MinGW提供的GCC編譯工具編譯測試工程，編譯過程中數(shù)學函數(shù)調(diào)用GCC編譯工具自帶函數(shù)庫（libgcc.a）中的對應(yīng)函數(shù)實現(xiàn)，編譯后的測試應(yīng)用程序在Windows操作系統(tǒng)下運行。

目標機測試工程在Windows操作系統(tǒng)下調(diào)用GCC編譯工具進行交叉編譯，編譯過程中數(shù)學函數(shù)調(diào)用NuEgretOS數(shù)學庫（libEgretLibc.a）中的對應(yīng)函數(shù)實現(xiàn)。另外，在參考環(huán)境中還調(diào)用了MSVC編譯器編譯測試工程，編譯過程中數(shù)學函數(shù)調(diào)用MSVC編譯工具自帶的C運行時庫中的對應(yīng)函數(shù)實現(xiàn)。

4　運行結(jié)果比較

4.1　參考環(huán)境下不同編譯的測試應(yīng)用程序運算結(jié)果比較

Windows操作系統(tǒng)下使用MinGW和MSVC編譯的測試應(yīng)用程序可以相互傳遞各自生成的二進制測試向量文件。在相同的函數(shù)輸入下，兩個程序的函數(shù)運行結(jié)果僅存在細微差別，包括：

（1）部分函數(shù)在特殊輸入值下計算值僅相差1ULP（如sqrt函數(shù)輸入最大規(guī)格化數(shù)，sin/cos函數(shù)的部分輸入值）。

（2）部分函數(shù)在輸入為NaN時，輸出的NaN位串值不同（如fabs函數(shù)是否將NaN位串值的符號位設(shè)置為0，exp函數(shù)輸出NaN時是否將位串值尾數(shù)域的全部非首位設(shè)置為0），對NaN的不同處理均不違反C99^[4]和POSIX.1-2017標準的要求。

結(jié)合MinGW和MSVC編譯工具（包括工具自帶的函數(shù)庫）的應(yīng)用廣泛程度和函數(shù)輸出比較結(jié)果，以MinGW編譯工具生成的參考環(huán)境測試應(yīng)用程序的運算結(jié)果作為NuEgretOS數(shù)學庫各函數(shù)的參考值是相對可信的。

4.2　參考環(huán)境和目標機運行環(huán)境測試應(yīng)用程序運算結(jié)果比較

以MinGW作為參考環(huán)境測試應(yīng)用程序編譯工具，并以該參考環(huán)境測試應(yīng)用程序生成的各函數(shù)輸入序列作為目標機測試應(yīng)用程序的被測函數(shù)輸入序列，假定該參考環(huán)境測試應(yīng)用程序?qū)ψ陨砩傻臏y試輸入序列的函數(shù)運算結(jié)果為目標機測試應(yīng)用程序執(zhí)行NuEgretOS數(shù)學庫各函數(shù)的預(yù)期結(jié)果（即參考值）。經(jīng)目標機測試應(yīng)用程序運行結(jié)果比較，除以下兩項主要問題外，NuEgretOS數(shù)學庫運算結(jié)果符合驗證目標：函數(shù)對有定義輸入值、異常及特殊情況處理正確，并且函數(shù)輸出為有限小數(shù)值的計算誤差≤2ULPs。

（1）問題1：exp、sinh、sqrt、log、log10這5個函數(shù)輸入為非規(guī)格化浮點數(shù)時，計算值錯誤。部分測試結(jié)果如表2所示。

表2 問題1測試結(jié)果

（2）問題2：cos、sin、tan這三個周期性函數(shù)在輸入值較大時，計算誤差超允許值（2ULPs）。部分測試結(jié)果如表3所示。

表3 問題2測試結(jié)果

5　問題分析和處理

經(jīng)過對已發(fā)現(xiàn)的兩個問題（如表2和表3所示）相關(guān)的軟件代碼進行分析和調(diào)試，兩個問題的原因和處理方式如下：

（1）問題1，屬例外處理的匯編代碼錯誤。錯誤原因為匯編代碼中寄存器使用錯誤，使得NuEgretOS在處理龍芯2K1000浮點協(xié)處理器（FPU）的例外（未實現(xiàn)操作例外，2K1000未實現(xiàn)的MIPS64全部浮點指令）時的處理邏輯出現(xiàn)錯誤。匯編代碼修改后問題得到解決。經(jīng)回歸測試，這5個函數(shù)（exp、sinh、sqrt、log、log10）在參考環(huán)境和目標環(huán)境的計算誤差不超過2UPLs，符合NuEgretOS數(shù)學庫預(yù)先設(shè)定的要求。

（2）問題2，由計算參數(shù)表示誤差而引起的中間計算值誤差隨三角函數(shù)2π周期數(shù)擴大。NuEgretOS數(shù)學庫在實現(xiàn)cos、sin、tan這三個周期性函數(shù)，其中sin和cos函數(shù)采用這兩個函數(shù)的泰勒展開式求解，tan函數(shù)利用tanx=sinx/cosx關(guān)系式求解。在代入泰勒展開式前，將輸入值x通過三角函數(shù)變換公式整理到絕對值不大于π/4的弧度值。首先需利用公式（如sinx=sin(k·2π+θ),x∈R,k∈N,θ∈[-π,π]）將NuEgretOS數(shù)學庫中的三角函數(shù)定義域轉(zhuǎn)化到±π之間時，使用位串值為0x401921FB54442D18的參數(shù)（名為PI2）表示理論數(shù)值2π，其表示值（6.283185307179586231996）與精確值（6.283185307179586476925）之間的表示誤差為δPI2≈2.449×10-16，約0.276ULPs。經(jīng)過k個2π周期后，造成θ值的誤差為δθ=k·δPI2，因此|k|≥1時，這一單一因素將可以造成函數(shù)值誤差大于2ULPs。解決這一問題可以有兩個途徑：

（1）限制函數(shù)輸入值的范圍，以減少中間值θ的計算誤差；

（2）使用更高精度的浮點數(shù)（如binary128或兩個binary64）表示2π的值并參與計算。

6　總結(jié)

研究者引入對比測試方法快速準確地實現(xiàn)了對新開發(fā)的嵌入式操作系統(tǒng)數(shù)學庫的測試，并通過誤差分析輔助完成了對測試中發(fā)現(xiàn)的被測函數(shù)問題的定位和處理，提高了被測試函數(shù)庫的計算精度和結(jié)果可信度。

按照經(jīng)分析確定的規(guī)則生成各被測試函數(shù)輸入值序列保證了測試的有效覆蓋率。

在參考環(huán)境中采用不同編譯工具并調(diào)用不同工具自帶函數(shù)庫執(zhí)行相同輸入序列的函數(shù)計算，并對計算結(jié)果進行比較，提高了參考環(huán)境生成的、擬作為目標機環(huán)境被測函數(shù)預(yù)期值的函數(shù)值的正確性和精度的可信度。

使用浮點數(shù)內(nèi)存值二進制方式保存、傳遞和比較各函數(shù)的輸入序列和對應(yīng)的參考環(huán)境運算結(jié)果組成的測試向量，避免了浮點數(shù)值在不同環(huán)境中交換和比較可能帶來的表示誤差和比較不確定性。

通過參考環(huán)境和目標環(huán)境測試應(yīng)用程序，測試用例按規(guī)則自動生成、執(zhí)行并比較結(jié)果，提高了本項測試的自動化程度。

作者簡介：

程建明（1976-），男，四川人，高級工程師，學士，現(xiàn)就職于北京廣利核系統(tǒng)工程有限公司，主要從事核安全級軟件的驗證和確認工作。

徐先柱（1982-），男，黑龍江人，高級工程師，學士，現(xiàn)就職于北京廣利核系統(tǒng)工程有限公司，主要從事于核安全級軟件的驗證與確認工作。

參考文獻：

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[3] ISO/IEC 60559:2020(E) IEEE Std 754-2019, Floating-point arithmetic[S]. 2020.

[4] ISO/IEC 9899:1999 Programming languages-C[S]. 1999.

摘自《自動化博覽》2023年11月刊