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    1、問題的提出

    精密儀器的運動單元一般均采用微型無刷永磁直流電機，電機尺寸以及安裝空間很小，對電機的控制精度要求較高，一般要求達到0.5%～0.1%，另外在某些應用中對成本控制的要求較高。

    通常直流電機的控制多采用速度/力矩負反饋閉環控制，可以做到高精度控制。但需要給電機安裝編碼器、力矩傳感器等器件進行控制參數的測量，并設置控制電路進行控制[1]，這種方案因為體積/成本原因對精密儀器電機的控制是不可行的。

    近些年來，常采用電子穩速電路對小型直流電機進行控制，圖1是一種典型的電子穩速電路。其中G1是調速管，G2是比較放大管，W是速度微調電阻。但它只是單純應用電機的反相電動勢負反饋原理進行控制，其控制精度差，一般大于0.5%，并且超調大，過渡時間長，不能滿足精密儀器的控制精度要求。

                                 
                                       圖1 典型的電子穩速電路

    2、電機數學模型分析

    微型無刷永磁直流電機的等效電路如圖2所示。

                                      
                                    圖2 無刷永磁直流電機等效電路

      其中：U為輸入電壓，ω為輸出角頻率，R為等效內阻，L為等效感抗，I為電機電流，E為電樞反應的反電勢，ML為負載擾動力矩。

     由電路原理可知：                                 （1）

    電樞反應的反電勢E與ω的關系是：                             （2）
    其中：ke為電勢系數，由電機結構參數決定。

    由剛體旋轉定律可寫出電機軸上的機械運動方程：        （3）

    其中：M是電機的輸出轉矩，并且存在 ，km為轉矩系數，J為慣性系數，由電機結構參數決定。

    當電機空載時， ，因此有：                 （4）

                                                             （5）

    將（5）式代入（1）式，得：
                                          （6）

    對（6）式求Laplace變換，得：
                                   （7）

    （7）式就是無刷永磁直流電機的輸出轉速與輸入電壓的傳遞函數，它是I型系統、二階系統。

    令 ，

    則（7）式變形為：                   （8）
      其中：T為時間常數，ω0為自然頻率，ξ是阻尼比。

    3、控制算法設計與求解

    基于對無刷永磁直流電機數學模型的研究以及二階系統成熟的控制理論，采用最為成熟的PID控制算法對其進行控制[2]，相應的控制系統結構圖[3]如圖3所示。

                              
                                          圖3 控制系統結構圖

    則其系統閉環傳遞函數為：             （9）

    此處 ，并且

    因此有：        （10）

    對（10）化簡并整理，得：（11）

      基于模型匹配的PID控制器參數設計方法，選擇閉環控制系統的標準傳遞函數為[4]：                              （12）

    其中：σ3、σ2、σ1和σ0為閉環控制系統的標準傳遞函數；系數α為控制系統自由設計參數。通過α值的不同來平衡控制系統對指令響應和擾動抑制。根據模型跟蹤控制的ITAE規則，推薦閉環控制系統的標準傳遞函數系數  [4]。

    根據（11）和（12）式，可以計算出：          （13）

    解（13），得：                         （14）

    4、控制電路的實現

    由于目前集成運放的可靠性、穩定性高，價格低廉，因此使用集成運放來搭建控制電路是一種較好的選擇。圖4給出了使用集成運放實現的PID控制電路。
                                          
                     
                                圖4 基于集成運放的PID控制電路

     由電路原理易知：（15）

     即：                         （16）
   
    因此，在求得PID的參數后，就可以容易得出電路參數。

    5、仿真試驗

    根據上述的閉環傳遞函數，在MATLAB下對被控系統進行仿真，得到仿真結果如圖5所示。

                     
                                        圖5：對被控系統進行MATLAB仿真結果

      由仿真結果可以看出：對于精密儀器中的微型無刷永磁直流電機采用PID控制，在控制精度、快速性、超調量各方面可以取得較好的效果。可以使電機穩定、快速地調速。

    6、小結

    本文通過對精密儀器中的微型無刷永磁直流電機的數學模型的分析，使用模型參數匹配的設計方法計算出基于PID控制的參數，實現了高精度和低成本的電機控制。

    參考文獻
[1] 謝帥.直流電機伺服控制系統的設計[J]. 科技資訊, 2010, (3):212-212.
[2] 唐任遠.現代永磁電機理論與設計[M]. 北京:機械工業出版社, 1997.
[3] 宋寶等.基于二階系統的伺服電流調節器的參數整定[J]. 機械與電子, 2004, (9):13-15.
[4] 葉佩青等.基于振動模型的精密工作臺運動控制[J]. 清華大學學報-自然科學版,2006, 46(2):206-209.

    作者簡介：
賀吟涓（1989- ）
女，湖南省湘潭市人，清華大學精密儀器與機械學系本科2007級學生。

    摘自《自動化博覽》2011年第二期