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    廖勇（1982—）
男，江西撫州人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閺V義系統(tǒng)的魯棒控制。

摘要:首先利用線性矩陣不等式（LMI）方法，給出線性廣義時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定的一個(gè)充分條件；然后討論廣義時(shí)滯系統(tǒng)的H_∞狀態(tài)反饋控制，給出控制器存在的充分條件，同時(shí)給出控制器的設(shè)計(jì)，控制器可由矩陣不等式解得。

關(guān)鍵詞：廣義時(shí)滯系統(tǒng)；線性矩陣不等式；H_∞控制

Abstract: Using the method of linear matrix inequality (LMI),H_∞ state feedback control problem for linear singular systems with time-delay in state is discussed. A sufficient condition which guarantees the asymptotical stability of the closed-loop system is given. Furthermore, one sufficient condition for the existence of an H∞ state feedback controller is shown. The controller can be obtained via solving matrix inequality.

Key words:Singular time-delay system; LMI; H_∞ control

    為適應(yīng)近代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展以及大型工程技術(shù)的需要，人們提出了非傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型描述的廣義系統(tǒng)。信息傳遞等因素致使系統(tǒng)普遍存在滯后現(xiàn)象[1,2]，因而人們又提出滯后廣義系統(tǒng)[3,4]。滯后廣義系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜[4]，既不同于無滯后的廣義系統(tǒng)，又不同于通常的滯后系統(tǒng)。

    H_∞控制理論是魯棒理論的一個(gè)重要分支，近年來隨著無滯后線性系統(tǒng)H_∞理論的日趨成熟和完善，滯后線性系統(tǒng)的H∞理論也得到了相應(yīng)的發(fā)展[5,6]。但由于廣義滯后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，致使對(duì)滯后廣義系統(tǒng)的H∞控制問題的研究仍處于初級(jí)階段[4]。本文利用線性矩陣不等式方法，討論一般的廣義時(shí)滯系統(tǒng)H∞控制問題，給出了問題可解的一個(gè)充分條件以及控制器設(shè)計(jì)。

1 問題描述與預(yù)備知識(shí)

    考慮如下線性廣義時(shí)滯系統(tǒng)
               
                （1）

    其中：為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，為控制輸入，為干擾輸入，為控制輸出，為滯后常數(shù)，為任一連續(xù)的滿足相容性條件的初始函數(shù)，各系數(shù)矩陣為適維常陣。特別地，。不失一般性，假設(shè)，B_l和D_l都為零矩陣，否則可通過狀態(tài)擴(kuò)維方式將系統(tǒng)（1）轉(zhuǎn)化為

   

    本文的目的是設(shè)計(jì)無記憶的狀態(tài)反饋

                  （2）

    其中為常陣，使得系統(tǒng)（1）與反饋控制器（2）構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)
    
             (3)
             
    滿足如下條件：1）內(nèi)穩(wěn)定；2），其中：表示從干擾輸入W(t)到被控輸出Z(t)的傳遞函數(shù)，為給定常數(shù)。

    設(shè)有滯后廣義系統(tǒng)
　　　
                       （4）

    其中：為n×n奇異常數(shù)矩陣，

且連續(xù)，

    方程（4）的初始條件為

          （5）

    在給出穩(wěn)定性概念之前，還需引用如下記號(hào)：

    1） 區(qū)間T_k=[0,t_k)，其中；

    2） m維連續(xù)可微向量函數(shù)q(t,x)在上有定義；

    3） s_k(t₀,t_k)為使得方程（4）至少在[t₀,t_k)上有連續(xù)解的所有相容初始函數(shù)的全體；

    4）。

    定義1[7]若，總存在，使得，方程（4）通過初始條件的解滿足和，則方程（4）的零解關(guān)于穩(wěn)定。

    特別地，若僅與有關(guān)，而與t₀無關(guān)，則方程（4）的零解關(guān)于{q(t,x),T_k}一致穩(wěn)定。

    定義2^[7]若方程（4）的零解關(guān)于是穩(wěn)定的，且，有則稱方程（4）的零解關(guān)于漸近穩(wěn)定。

    引理1^[8]給定矩陣 ,若,且, 則可 行 當(dāng) 且 僅 當(dāng),  若（6）可 行，   記則（6）的所有可行解為其中,滿足,,其中，,的一個(gè)滿秩分解。

    引理2^[9]若存在矩陣和正定陣滿足
    
        （7）

    則系統(tǒng)（3）零解漸近穩(wěn)定。

    引理 3[9] 若存在矩陣和正定陣滿足
    
                           （8）

    則閉環(huán)系統(tǒng)（3）內(nèi)穩(wěn)定且。

    引理4^[9]若存在矩陣,和正定矩陣滿足如下LMI不等式
       （9）

    其中，則系統(tǒng)（1）的H_∞控制問題有解，即系統(tǒng)（3）內(nèi)穩(wěn)定，且滿足H_∞范數(shù)界。此時(shí)控制器，其中。

2 主要結(jié)果

    定理1  若存在矩陣和正定陣滿足

   

    則系統(tǒng)（3）零解漸近穩(wěn)定。

    其中，。

    證明 引理2中（7）的第二個(gè)不等式等價(jià)于下式

   

    則將引理1的結(jié)果應(yīng)用于引理2即可得定理1。

    下面給出系統(tǒng)（3）內(nèi)穩(wěn)定且滿足H_∞范數(shù)界，即的一個(gè)充分條件。

    定理2  若存在矩陣和正定陣滿足

    

    則閉環(huán)系統(tǒng)（3）內(nèi)穩(wěn)定且。

    其中，,而且所有的矩陣P滿足以下兩式：
              （10）

      （11）

    其中，，滿足, ，其中,,是的一個(gè)滿秩分解。

    證明  ，因?yàn)檎ǎ?IMG style="border:1px solid #000" src="/uploads/images/cases/2007/11/1201584008.jpg" align=middle >，則。將引理1中的結(jié)果應(yīng)用到引理3即可證明定理2（證明略）。

    定理3 若存在矩陣,和正定矩陣滿足如下矩陣不等式

                       （12） 

    其中，,則系統(tǒng)（1）的H∞控制問題有解，即系統(tǒng)（3）內(nèi)穩(wěn)定，且滿足H_∞范數(shù)界。 

    證明   使用兩次Schur補(bǔ)引理可將（8）式簡化成下列不等式

    (Q+C^TC)+(A+BK)+(A+BK)^T+<0

    將引理1的結(jié)果應(yīng)用到引理4即可得定理3。

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    （廈門大學(xué)自動(dòng)化系，福建  廈門  361005）  廖   勇，曾建平